Movimento Médio Processo É Estacionário

Considere o processo de ordem infinita MA definido por ytepsilonta (epsilon epsilon.), Onde a é uma constante e os epsilonts são i. i.d. Variável aleatória N (0, v). Qual é a melhor maneira de mostrar que yt é não-estacionário Eu sei que eu preciso olhar para as raízes características do polinômio características e, em seguida, julgar se estão ou não fora do círculo unidade, mas qual é a melhor maneira de abordar este problema Devo tentar reescrever o processo de ordem infinita MA como um processo de ordem finita AR ou é mais fácil trabalhar o processo de MA pedido Oct 19 13 em 21: 11O que são estacionários autorregressivo (AR), média móvel (MA), e estacionário mista (ARMA Processos estacionários autoregressivos (AR) Os processos estacionários autoregressivos (AR) possuem funções teóricas de autocorrelação (ACFs) que decrescem em direção a zero, em vez de cortar para zero. Os coeficientes de autocorrelação podem alternar no sinal com freqüência, ou mostrar um padrão ondulatório, mas em todos os casos, eles caem em direção a zero. Em contrapartida, os processos AR com ordem p têm funções de autocorrelação parcial teórica (PACF) que são cortadas para zero após o retardo p. Processo de média móvel (MA) Os ACFs teóricos dos processos MA (média móvel) com a ordem q são cortados para zero após o retardo q, a ordem MA Do processo. No entanto, seus PACFs teóricos decaiem em direção a zero. (O comprimento do retardo do pico ACF final é igual à ordem MA do processo, q.) Processo misto estacionário (ARMA) Processos mistos estacionários (ARMA) mostram uma mistura de características AR e MA. Tanto o ACF teórico quanto o PACF desviam-se para zero. Modelos estacionários lineares para séries temporais onde a variável aleatória é chamada de inovação porque representa a parte da variável observada que é imprevisível dados os valores passados. O modelo geral (4.4) assume que é a saída de um filtro linear que transforma as inovações passadas, isto é, é um processo linear. Esta hipótese de linearidade é baseada no teorema de decomposição de Wolds (Wold 1938) que diz que qualquer processo discreto de covariância estacionária pode ser expresso como a soma de dois processos não correlacionados, onde é puramente determinista e é um processo puramente indeterminista que pode ser escrito como uma linear Soma do processo de inovação: onde está uma seqüência de variáveis ​​aleatórias não correlacionadas em série com média zero e variância comum. A condição é necessária para a estacionaridade. A formulação (4.4) é uma reparametrização finita da representação infinita (4.5) - (4.6) com constante. É geralmente escrito em termos do operador de defasagem definido por, que dá uma expressão mais curta: onde o polinômio polinômios e são chamados o polinômio polinomial, respectivamente. A fim de evitar a redundância de parâmetros, presumimos que não há fatores comuns entre o e os componentes. Em seguida, estudaremos o enredo de algumas séries temporais geradas por modelos estacionários, com o objetivo de determinar os principais padrões de sua evolução temporal. A Figura 4.2 inclui duas séries geradas a partir dos seguintes processos estacionários calculados por meio do quantar genarma: Figura 4.2: séries temporais geradas pelos modelos Como esperado, ambas as séries temporais se movimentam em torno de um nível constante sem alterações na variância devido à propriedade estacionária. Além disso, este nível está próximo da média teórica do processo, e a distância de cada ponto a este valor é muito raramente fora dos limites. Além disso, a evolução da série mostra desvios locais da média do processo, conhecida como o comportamento de reversão médio que caracteriza as séries temporais estacionárias. Estudemos com algum detalhe as propriedades dos diferentes processos, em particular, a função de autocovariância que capta as propriedades dinâmicas de um processo estacionário estocástico. Esta função depende das unidades de medida, portanto a medida usual do grau de linearidade entre as variáveis ​​é o coeficiente de correlação. No caso de processos estacionários, o coeficiente de autocorrelação a lag, denotado por, é definido como a correlação entre e: Assim, a função de autocorrelação (ACF) é a função de autocovariância padronizada pela variância. As propriedades do ACF são: Dada a propriedade de simetria (4.10), o ACF é normalmente representado por meio de um gráfico de barras nos retornos não negativos que é chamado de correlograma simples. Outra ferramenta útil para descrever a dinâmica de um processo estacionário é a função de autocorrelação parcial (PACF). O coeficiente de autocorrelação parcial com defasagem mede a associação linear entre os efeitos dos valores intermediários e é ajustado para eles. Portanto, é apenas o coeficiente do modelo de regressão linear: As propriedades do PACF são equivalentes às do ACF (4.8) - (4.10) e é fácil provar que (Box e Jenkins, 1976). Como a ACF, a função de autocorrelação parcial não depende das unidades de medida e é representada por meio de um gráfico de barras nos retornos não negativos que é chamado de correlograma parcial. As propriedades dinâmicas de cada modelo estacionário determinam uma forma particular dos correlogramas. Além disso, pode-se demonstrar que, para qualquer processo estacionário, ambas as funções, ACF e PACF, aproximam-se de zero, uma vez que a defasagem tende ao infinito. Os modelos não são sempre processos estacionários, por isso é necessário primeiro determinar as condições de estacionaridade. Existem subclasses de modelos que têm propriedades especiais, por isso vamos estudá-los separadamente. Assim, quando e, é um processo de ruído branco. Quando, é um processo de ordem móvel pura de ordem. , E quando se trata de um puro processo autorregressivo de ordem. . 4.2.1 Processo de Ruído Branco O modelo mais simples é um processo de ruído branco, onde é uma seqüência de variáveis ​​médias zero não-correlacionadas com variância constante. É denotado por. Este processo é estacionário se sua variância for finita, dado que: verifica as condições (4.1) - (4.3). Além disso, não está correlacionada ao longo do tempo, então sua função de autocovariância é: A Figura 4.7 mostra duas séries temporais simuladas geradas a partir de processos com média e parâmetros zero e -0,7, respectivamente. O parâmetro autorregressivo mede a persistência de eventos passados ​​nos valores atuais. Por exemplo, se um choque positivo (ou negativo) afeta positivamente (ou negativamente) por um período de tempo que é maior quanto maior for o valor de. Quando, a série se move mais rudemente em torno da média devido à alternância na direção do efeito de, ou seja, um choque que afeta positivamente no momento, tem efeitos negativos sobre, positivo em. O processo é sempre invertible e está parado quando o parâmetro do modelo é obrigado a ficar na região. Para provar a condição estacionária, primeiro escrevemos a na forma de média móvel por substituição recursiva de (4.14): Figura 4.8: Correlatogramas de população para processos Ou seja, é uma soma ponderada de inovações passadas. Os pesos dependem do valor do parâmetro: quando, (ou), a influência de uma determinada inovação aumenta (ou diminui) através do tempo. Tomando as expectativas para (4.15) para calcular a média do processo, temos: Dado que, o resultado é uma soma de termos infinitos que converge para todo o valor de apenas se, em que caso. Um problema semelhante aparece quando calculamos o segundo momento. A prova pode ser simplificada assumindo que, isto é,. Então, a variância é: Novamente, a variância vai para o infinito, exceto para, caso em que. É fácil verificar que tanto a média como a variância explodem quando essa condição não se mantém. A função de autocovariância de um processo estacionário é, portanto, a função de autocorrelação para o modelo estacionário é: Ou seja, o correlograma mostra um decaimento exponencial com valores positivos sempre se é positivo e com oscilações negativas positivas se for negativo (ver figura 4.8). Além disso, a taxa de decaimento diminui à medida que aumenta, portanto, quanto maior o valor de mais forte a correlação dinâmica no processo. Finalmente, há um corte na função de autocorrelação parcial no primeiro lag. Figura 4.9: Correlógrafos populacionais para processos Pode-se mostrar que o processo geral (Box e Jenkins, 1976): É estacionário somente se as raízes da equação característica do polinômio estiverem fora do círculo unitário. A média de um modelo estacionário é. É sempre invertible para quaisquer valores dos parâmetros. Seu ACF vai para zero exponencialmente quando as raízes de são reais ou com flutuações de onda de seno-coseno quando são complexas. Seu PACF tem um corte no atraso, isto é. Alguns exemplos de Correlatos para modelos mais complexos, como o, pode ser visto na figura 4.9. Eles são muito semelhantes aos padrões quando os processos têm raízes reais, mas assumem uma forma muito diferente quando as raízes são complexas (veja o primeiro par de gráficos da figura 4.9). 4.2.4 Modelo de média móvel auto-regressiva O modelo de ordens de média móvel autorregressiva geral (ordem finita) é: Declaração do problema: Para cada um dos modelos do exercício 3.1 e também para os modelos a seguir, indique se (a) (B) invertido. Solução: Estes são todos os modelos ARMA, de modo que a estacionaridade se mantém se e somente se as raízes da equação AR estiverem todas fora do círculo unitário, e a invertibilidade se e somente se as raízes da equação MA estiverem todas fora do círculo unitário. Nota: Os autores escrever todo o tempo para enfatizar que você tem que tirar a média para estes modelos. Vamos apenas escrever Z t e assumir que tudo é médio. A (s) raiz (ões) da equação característica autorregressiva é (são), fora do círculo unitário. Portanto, o processo é estacionário. A (s) raiz (ões) da equação característica média móvel formam um conjunto vazio, assim todas as raízes estão vazias fora do círculo unitário. Dito de forma diferente (na linguagem que foi usada na palestra), não há raízes de sobre ou no círculo de unidade. Portanto, o processo é invertido. A (s) raiz (ões) da equação característica autorregressiva formam um conjunto vazio, assim todas as raízes estão vazias fora do círculo unitário. Dito de forma diferente (na linguagem que foi usada na palestra), não há raízes de sobre ou no círculo de unidade. Portanto, o processo é estacionário. As raízes da equação característica média móvel podem ser determinadas por factoring: Ambas as raízes estão fora do círculo unitário. Portanto, o processo é invertido. A raiz da equação característica autorregressiva é, fora do círculo unitário. Portanto, o processo é estacionário. O operador de média móvel é o mesmo que no Modelo 2, portanto, o processo é invertido. As raízes da equação característica autorregressiva O módulo quadrado dessas raízes conjugadas complexas está fora do círculo unitário. Portanto, o processo é estacionário. (Pode-se determinar isso sem computar as raízes, uma vez que se sabe que as raízes são conjugados complexos. Recorde que o produto de raízes recíprocas é o módulo quadrado e igual ao coeficiente de v 2, ou seja 0,6 neste caso, de modo que o módulo Quadrado é 10,6 gt 1.) O processo é invertible como no Modelo 1. A raiz da equação característica autorregressiva é, no círculo unitário. Portanto, o processo não é estacionário. A raiz do polinômio característico de média móvel é v 2, fora do círculo unitário. Portanto, o processo é invertido. A raiz da equação característica autorregressiva é, no círculo unitário. Portanto, o processo não é estacionário. As raízes da equação característica média móvel podem ser determinadas por factoring: